老铁们，大家好，相信还有很多朋友对于阶乘也很有趣：从阶乘到伽马函数再到非整数的阶乘和的相关问题不太懂，没关系，今天就由我来为大家分享分享阶乘也很有趣：从阶乘到伽马函数再到非整数的阶乘以及的问题，文章篇幅可能偏长，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

也就是说

下表给出了一些自然数的阶乘值：

https://en.wikipedia.org/wiki/Factory

100！是一个158位整数

100！这么大的数字怎么计算呢？

阶乘的计算

直接求阶乘需要大量乘法运算。数字太多，计算机无法表示。这时，常采用对数方法，将阶乘的乘法运算转化为加法运算。喜欢

编写一段Python语言代码来求等式右边的值：

导入数学

数字编号=0.0

对于范围(100): 内的i

digital_num +=math.log10(i+1)

打印（数字编号）

运行即可获得

157.97000365471575（近似值），即

这解释了100！它是一个158 位的数字。根据对数函数和指数函数的关系，可以反算阶乘值：

以前不明白对数含义的朋友现在可以体会到对数的威力了吧？

另外，阶乘还有一个有趣的近似公式：

Stirling() 公式- 斯特林近似

斯特林公式与阶乘曲线的比较

我们来实际验证一下斯特林公式的错误。将n=100代入上面的公式，我们得到100！ 9.3248476252693432477647561271787023234709745647418062292817958153368849555554046603086239162755522767325066157982750581 7302017886487207720230946742094857267442225508190492286520310411195040966964294345297084311638093420567576481015234062861 18 71980 9726115438569410402607630035313046957956392566366745658132452941877904052886947223641749037779513877635612354880691524 914 259437590327045612488757528210. 10^157

我们使用对数获得的值之间的误差约为0.08329%，即万分之8.3，这是相当准确的！

阶乘的延拓

点(n, n!)，即(0, 0!), (1,1!), (2,2!), (3,3!),可以表示为平面坐标系就出来了。

n！n=0.4

n！n=0.6

n！n=0.10

我们能找到一条可以通过上述所有点（n，n！）的数学曲线吗？寻找这样一条曲线的过程是数学中从整数域到实数域的解析延续。

伽玛函数

人类已经发现了这样一个函数，伽玛函数。伽马函数定义如下：

伽玛函数是由定积分公式定义的函数，因此求伽玛函数就变成了定积分。不难发现：

进而

gamma函数与实数域层次结构的关系

从这个方程可以看出，阶乘不就是伽马函数从实数域到整数域的降维函数吗？相反，伽玛函数不正是阶乘序列从整数域到实数域的扩展吗？

从伽玛函数导出的常数是弗兰森-罗宾逊常数：

问题：伽马函数是阶乘运算的唯一分析扩展吗？

答案是否定的，因为满足这样的函数的展开函数有无数个。例如，当横坐标为整数时，以下函数的值也等于相应的阶乘值：

实数域的阶乘函数

因为

也就是说

将该阶乘函数表达如下：

阶乘函数具有以下递归性质（从小到大，计算正数阶乘时使用）：

由上面的递推公式，我们可以得到新的递推公式（从大到小，计算负数阶乘时使用）：

我们来尝试求几个非整数实数的阶乘函数值：

由这个值可以推导出一系列其他值：

这个(x)是实数域阶乘函数的合理定义公式。阶乘函数的曲线y=(x)=x!如下：

我们发现上面的阶乘函数在负整数处是不连续的，即不收敛，这与我们的计算结果是一致的：

最后找到两个特殊阶乘

其实阶乘也可以推广到复数领域，比如

复杂函数

图表如下

(cosx+isinx) 的图！

用户评论

念旧是个瘾。

这篇文章写的真棒！ 我之前不太了解阶乘的扩展形式，比如非整数阶乘，原来还有伽玛函数这样的工具能解决这个问题，感觉数学真是太奇妙了!

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玩味

看完后感觉大脑有点懵逼… 阶乘我理解，但是伽玛函数和非整数阶乘就让我丈二里和尚摸不着头脑了， 希望以后有机会再深入学习一下。

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此生一诺

这个标题吸引我了！ 我一直觉得数学就是冷冰冰的公式，没想到还有这么有趣的应用啊！それにしても，把一个概念延伸到这种高度真的很厉害。

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早不爱了

我也在学习数学相关知识！ 这个博客讲解得很清楚，让我对阶乘的不同形式有了更深入的理解。伽玛函数的确是一种强大工具

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落花忆梦

突然觉得学习数学真的好让人兴奋啊！从简单的阶乘一直延伸到伽玛函数和非整数阶乘，这就像是一场精彩的数学之旅，讓我忍不住想继续探索下去!

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敬情

我主要想了解非整数阶乘的概念，因为在某些物理领域经常会用到它。这篇博客正好对我的需求有所解答，非常感谢。

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不识爱人心

文章科普得好！以前只知道阶乘是一种简单的公式，现在看来确实有很多隐藏的奥秘。 伽玛函数应用场景也挺广泛的，以后需要好好学习一下

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怀念·最初

对于这种数学严谨的概念介绍，我感觉不太容易理解。 希望能有更多的案例或图形能够辅助解释，这样更直观易懂。

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我没有爱人i

这个博客让我意识到，看似简单的概念背后往往蕴藏着惊人的深度！阶乘的扩展形式真是让人叹为观止

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孤独症

我对数学并不擅长，但是这篇文章写得还挺好，让人感觉阶乘和伽玛函数并不那么抽象难懂. 虽然我可能还不完全理解所有内容，但至少能抓住要点了。

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余笙南吟

这篇博客真是太棒了！ 我从中学开始就对阶乘非常感兴趣，现在终于明白了它还有这么多隐藏的面目。

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她的风骚姿势我学不来

我觉得文章把几个数学概念之间的联系描述得很好，特别是伽玛函数和非整数阶乘的关联，这对我来说是一个全新的视角!

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心悸╰つ

我读到最后还是有点懵… 这个概念太抽象了， 还是需要多加练习才能真正理解吧。

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巷口酒肆

这个博客很有启发性！让我意识到数学可以应用在很多实际问题中，并且这些问题的解决方法往往都包含着深层的数学原理。

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断秋风

文章讲解不错，但是我个人觉得一些公式的推导过程还是比较复杂，希望能有更直观的解释方式

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∞◆暯小萱◆

我觉得这篇文章写的太深入，对于初学者来说可能有点难以理解。 希望可以添加更多基础知识和简单的例子来帮助大家入门

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封锁感觉

阶乘的概念虽然简单，但是它的应用范围却非常广泛！ 比如在计算组合数、排列时都会用到它. 现在又了解到伽玛函数的應用，真是太开眼界了!

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三年约

这篇文章让我对数学充满了好奇心！ 以前我只把数学当成一道枯燥的门类，现在看来它是如此丰富多彩，还有很多奥妙可探

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